高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

3．1.1 数系的扩充和复数的概念[目标] 1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法．[重点] 复数的概念及复数相等的条件．[难点] 复数的理解与引入．知识点一 复数的概念[填一填]1．复数与复数集集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，全体复数所成的集合 C 叫做复数集．2．复数的代数形式复数通常用 z 表示，z＝a＋bi(a，b∈R)，叫做复数的代数形式．其中 a 与 b 分别叫复数 z 的实部与虚部．[答一答]1．如何理解虚数单位 i?提示：① i2＝－1；② i 可与实数进行四则运算，且原有的加、减、乘、除运算律仍成立．2．能否说形如 a＋bi(其中 i 是虚数单位)的数叫做复数？提示：不能．只有当 a，b∈R 时，结论才成立．知识点二 复数的分类与复数相等[填一填]1．复数的分类(1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当 b ＝ 0 时，z 为实数．当 b ≠0 时，z 为虚数，当a ＝ 0 且 b ≠0 时，z 为纯虚数．(2)复数集内的包含关系2．复数相等a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是 a ＝ c 且 b ＝ d .[答一答]3．(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 b＝0 时为实数，当 a＝0 时为虚数，这种说法正确吗？(2)形如 bi 的数一定是纯虚数吗？(3)复数 z＝0 的充要条件是什么？提示：(1)这种说法不正确，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，当 b＝0 时为实数；当 a＝0时 z 不一定为虚数，因为当 a＝b＝0 时，z＝0 是实数，而不是虚数．(2)不一定，只有在 bi 中，当 b∈R 且 b≠0 时它才是纯虚数，当 b∈R 且 b＝0 时，bi＝0 不是纯虚数，当 b∉R 时，也不是纯虚数．(3)若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则当 a＝b＝0 时，有 z＝0；反之，若 z＝0，则必有 a＝b＝0，即复数 z＝0 的充要条件是其实部和虚部均为 0.4．两个复数能否比较大小？提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位 i 与实数 0 的大小关系不确定，若 i>0，则两边同乘以 i，有 i2>0，即－1>0，这是不可能的．若 i<0，则两边同时平方得 i2>0，即－1>0，这也不可能．本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确，实数也是复数，要把复数与虚数加以区别，对于纯虚...