高中数学 第二章 几个重要的不等式 1 柯西不等式学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案

§1 柯西不等式1．认识简单形式的柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义．2．会证明一般形式的柯西不等式，并能利用柯西不等式来解决有关问题．1．简单形式的柯西不等式(1)定理 1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：对任意实数 a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥__________________，当向量______________与向量________________共线时，等号成立．(2)简单形式的柯西不等式的向量形式：设 α＝(a，b)，β＝(c，d)是平面上任意两个向量，则______≥|α·β|，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．(1)二维形式的柯西不等式的推论：①(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d 为非负实数)；②·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；③·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．(2)二维形式的三角不等式：①＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)；② 推论：＋≥(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．【做一做 1－1】已知不等式(x＋y)≥9 对任意的正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为( )．A．2 B．4 C．6 D．8【做一做 1－2】已知 x＋2y＝1，则 x2＋y2的最小值为________．2．一般形式的柯西不等式(1)定理 2：设 a1 ， a2 ， … ， an 与 b1 ， b2 ， … ， bn 是 两 组 实 数 ， 则 有 (a ＋ a ＋ … ＋a)__________________≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量______________与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．(2)推论(三维形式的柯西不等式)：设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥________________．当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“＝”成立．【做一做 2－1】设 a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若 x2＋y2＋z2＝16，则 a·b 的最大值为________．【做一做 2－2】已知 x，y，z∈R＋，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2的最小值是( )．A． B． C． D．答案：1．(1)(ac＋bd)2 (a，b) (c，d)(2)|α||β|【做一做 1－1】B 由柯西不等式可求出(x＋y)≥2＝(1＋)2，当 x＝1，y＝时，(x＋y)能取到最小值(＋1)2，故只需(1＋)2≥9，即 a≥4 即可．【做一做 1－2】 解析： 1＝x＋2y，∴1＝(x＋2y)2≤(1＋22)(x2＋y2)．当且仅当 x＝，y＝时，取等号，∴(x2＋y2)min＝．2．(1)(b＋b＋…＋b) (a1，a2，…，an)(2)(a1b1＋a2b2＋a3b3)2【做一做 2－1】4 由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，当且仅当向量 a 与 b 共线时...