高中数学 第二章 几个重要的不等式 1.1 简单形式的柯西不等式学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案

1.1 简单形式的柯西不等式学习目标 1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值．知识点 简单形式的柯西不等式思考 1 (a2＋b2)(c2＋d2)与 4abcd 的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案 (a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考 2 当且仅当 a＝b 且 c＝d 时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案 当且仅当 ad＝bc 时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考 3 若向量 α＝(a，b)，向量 β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？答案 ·≥|ac＋bd|.梳理 (1)简单形式的柯西不等式① 定理 1：对任意实数 a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥( ac ＋ bd ) 2 .当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．② 简单形式的柯西不等式的推论(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d 为非负实数)；·≥| ac ＋ bd | (a，b，c，d∈R)；·≥| ac | ＋ | bd | (a，b，c，d∈R)．以上不等式，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立．(2)柯西不等式的向量形式设 α，β 是任意两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当向量 α，β 共线时，等号成立．类型一 利用柯西不等式证明不等式例 1 (1)已知 a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；(2)设 a，b，c 为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明 (1)|ax＋by|＝≤＝1，当且仅当 ay＝bx 时，等号成立．(2)由柯西不等式，得·≥a＋b，即·≥a＋b.同理，·≥b＋c，·≥a＋c.将上面三个同向不等式相加，得(＋＋)≥2(a＋b＋c)．∴当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．＋＋≥(a＋b＋c)．反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，要抓住不等式的基本特征：(a2 ＋ b2)(c2 ＋ d2)≥(ac ＋ bd)2 ， 其 中 a ， b ， c ， d∈R 或 (a ＋ b)(c ＋ d)≥( ＋ )2 ， 其 中a，b，c，d∈R＋.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如 a＝1×a)，变形等．跟踪训练 1 已知 a1，a2，b1，b2∈R＋，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2.证明 a1，a2，b1，b2∈R＋，∴(a1b1＋a2b2)＝·≥2＝(a1＋a2)2.当且仅当·＝·，即 b1＝b2时，等号成立．∴(a1b1＋a2b2)≥(a...