高中数学 第二章 几个重要的不等式 1.2 一般形式的柯西不等式学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案

1.2 一般形式的柯西不等式学习目标 1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一 三维形式的柯西不等式思考 1 类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|推导三维形式的柯西不等式？答案 设 α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则|α|＝，|β|＝. |α||β|≥|α·β|，∴·≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，∴(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.思考 2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案 当且仅当 α，β 共线时，即 β＝0 或存在实数 k，使 a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．梳理 三维形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 .当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时，等号成立．知识点二 一般形式的柯西不等式1．一般形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是两组实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 .2．柯西不等式等号成立的条件当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数 k，使得ai＝ kb i(i＝1,2，…，n)时等号成立．当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立.类型一 利用柯西不等式证明不等式命题角度 1 三维形式的柯西不等式的应用例 1 设 a，b，c 为正数，且不全相等．求证：＋＋＞.证明 构造两组数，，；，，，则由柯西不等式，得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即 2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因为题设中 a，b，c 不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋＞.反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练 1 已知 a，b，c∈R＋，求证：·≥9.证明 由柯西不等式知，左边＝×≥2＝(1＋1＋1)2＝9，∴原不等式成立．命题角度 2 一般形式的柯西不等式的应用例 2 设 a1，a2，…，an为正整数，求证：＋...