高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一 空间向量基本定理思考 1 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考 2 平面向量的基底惟一确定吗？答案 不惟一.梳理 (1)空间向量基本定理条件三个不共面的向量 a，b，c 和空间任一向量 p结论存在有序实数组{x，y，z}，使得 p ＝ x a ＋ y b ＋ z c (2)基底条件：三个向量 a，b，c 不共面.结论：{ a ， b ， c } 叫做空间的一个基底.基向量：基底中的向量 a，b，c 都叫做基向量.知识点二 空间向量的坐标表示思考 1 平面向量的坐标是如何表示的？答案 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使 a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 惟一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标.设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是点 A 的坐标，即若OA＝(x，y)，则 A 点坐标为(x，y)，反之亦成立(O 是坐标原点).思考 2 基底不同，向量的坐标相同吗？答案 不同.梳理 空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量，记作 e1，e2，e3空间直角坐标系以 e1，e2，e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1， e 2， e 3 的方向为 x轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xe1 ＋ ye2 ＋ ze3 ， 则 把 x ， y ， z 称 作 向 量 p 在 单 位 正 交 基 底e1，e2，e3下的坐标，记作 p ＝ ( x ， y ， z ) 类型一 基底的概念例 1 若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解 假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ、μ 使得...