高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 第2课时 复数的乘方与除法运算学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学案VIP专享

第 2 课时 复数的乘方与除法运算学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解 i 的幂的周期性．知识点一 复数的乘方与 in(n∈N*)的周期性思考 计算 i5，i6，i7，i8的值，你能推测 in(n∈N*)的值有什么规律吗？答案 i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．梳理 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数 z，z1，z2和 m，n∈N*，有①zm·zn＝z m ＋ n .②(zm)n＝z mn .③(z1·z2)n＝z·z.(2)虚数单位 i 的乘方：in(n∈N*)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－ 1 ，i4n＋3＝－ i .知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？答案 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘以 c－di，化简后可得结果．梳理 把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数 x＋yi(x，y∈R)叫做复数 a＋bi 除以复数 c＋di 的商，且 x＋yi＝＝＋i.1．两个复数的积与商一定是虚数．( × )2．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( √ )类型一 i 的运算特征例 1 计算下列各式的值．(1)1＋i＋i2＋…＋i2015＋i2016；(2)2014＋(1－i)2014.解 (1)1＋i＋i2＋…＋i2015＋i2016＝＝＝1.(2) 1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.∴2014＋(1－i)2014＝(1＋i)2014＋[(1－i)2]1007＝(2i)1007＋(－2i)1007＝21007i3－21007i3＝0.反思与感悟 (1)虚数单位 i 的性质①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．(2)复数的乘方运算，要充分使用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i 及乘方运算律简化运算．跟踪训练 1 计算：i2006＋(＋i)8－50.解 i2006＋(＋i)8－50＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－25＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.类型二 复数的除法运算例 2 (1)已知 i 是虚数单位，则复数的共轭复数是．答案 1＋i解析 ＝＝＝1－i，∴复数的共轭复数为 1＋i.(2)计算：.解 原式＝＝＝＝＝1－i.反思与感悟 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以 i.跟踪训练 2 已知 i 是虚数单位，则＝.答案 －1解析 ＝＝＝－i，∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.类型...