高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示[目标] 1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．[重点] 空间向量基本定理的应用．[难点] 应用空间向量基本定理解决问题．知识点一 空间向量基本定理[填一填]1．定理：条件：三个向量 a，b，c 不共面．结论：对空间任一向量 p，存在有序实数组{ x ， y ， z } ，使得 p＝xa＋yb＋zc.2．基底：空间中任何不共面的三个向量 a，b，c 都可以构成空间的一个基底，即{a，b，c}．3．基向量：空间的一个基底{a，b，c}中的向量 a，b，c 都叫做基向量．[答一答]1．(1)空间中怎样的向量能构成基底？(2)基底与基向量的概念有什么不同？提示：(1)空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．2．空间的基底唯一吗？提示：不唯一，只要是三个向量不共面，这三个向量就可以组成空间的一个基底．3．为什么空间向量基本定理中 x，y，z 是唯一的？提示：平移向量 a，b，c，p 使它们共起点，如图所示，以 p 为体对角线，在 a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的，因此 p 在 a，b，c 方向上的分解是唯一的，即 x，y，z 是唯一的．知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示[填一填]1．单位正交基底：有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量 e1，e2，e3称为单位正交基底．2．空间直角坐标系：以 e1，e2，e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.3．空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起点与原点 O 重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3.把x ， y ， z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3下的坐标，记作 p＝(x，y，z)，即点 P 的坐标为( x ， y ， z ) ． [答一答]4．与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？提示：xOy 平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz 平面 上 的 点 的 坐 标 为 (0 ， y ， z) ， x 轴 上 的 点 的 坐 标 为 (x,0,0) ， y 轴 上 的 点 的 坐 标...