3.1.4 空间向量的直角坐标运算课堂探究探究一 空间向量的坐标运算解决空间向量的坐标运算问题，首先要正确记忆空间向量的直角坐标运算公式，其次要结合向量的运算法则，先化简，再代入坐标运算．【典型例题 1】 已知向量 a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．思路分析：利用空间向量的直角坐标运算求解．解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)．(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)方法 1：2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.方法 2：2a·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b＝|a|2－|b|2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.探究二 空间向量的平行与垂直问题要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．【典型例题 2】 设向量 a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数 x 的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.思路分析：解答本题可先由 a∥b，a⊥b 分别建立关于 x 的方程，再解方程即可．1解：(1)① 当 x＝0 时，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，满足 a∥b.② 当 x＝1 时，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，不满足 a∥b，∴x≠1.③ 当 x≠0，x≠1 时，a∥b ＝＝ x＝2.综上所述，当 x＝0，或 x＝2 时，a∥b.(2)a⊥b a·b＝0，∴(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0 1－x2－3x2＋1－x2＝0，解得 x＝±.∴当 x＝±时，a⊥b.探究三 空间向量的夹角及长度公式的应用空间向量的夹角及长度公式除直接应用在向量的计算中外，经常利用其求异面直线所成的角以及线段的长度，通过应用向量的坐标运算使立体几何中复杂的角与距离的计算简单化．【典型例题 3】 已知点 A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝，且 a 分别与AB，AC垂直，求向量 a.思路分析：(1)由公式 S＝absin θ(θ 为 a，b 边的夹角)知，需首先求出AB与AC的夹角．(2)向量 a 由横坐标、纵坐标、竖坐标的值确定，这就需要找到三个方程列...
