第 2 课时 利用基本不等式求最值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 基本不等式与最值已知 x，y 都是正数，(1)如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2；(2)如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 a>0，b>0，且 a＋b＝16，则 ab≤64.( )(2)若 ab＝2，则 a＋b 的最小值为 2.( )(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋≥2，所以函数 y 的最小值是 2.( )(4)若 x∈R，则 x2＋2＋≥2.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一利用基本不等式求最值【典例 1】 (1)若 x>0，求 y＝4x＋的最小值；(2)设 02，求 x＋的最小值；(4)已知 x>0，y>0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值．[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1) x>0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2 ＝2＝12，当且仅当 4x＝，即 x＝时，y＝4x＋取最小值 12.(2) 00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝时取“＝”．∴y 的最大值为.(3) x>2，∴x－2>0，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝6.当且仅当 x－2＝，即 x＝4 时，x＋取最小值 6.(4) x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16.当且仅当＝且＋＝1 时等号成立，即 x＝4，y＝12 时等号成立．∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 有最小值 16.[变式] (1)本例(3)中，把“x>2”改为“x<2”，则 x＋的最值又如何？(2)本例(3)中，条件不变，改为求的最小值．[解] (1) x<2，∴2－x>0，∴x＋＝x－2＋＋2＝－＋2≤－2 ＋2＝－2.当且仅当 2－x＝，即 x＝0 时，x＋取最大值－2.(2)＝＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6当且仅当 x－2＝，即 x＝4 时，原式有最小值 6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．[针对训练]1．已知 x，y>0，且满足＋＝1，则 xy 的最大值为________．[解析] x，y>0，∴＋＝1≥2...
