3.1.5 空间向量的数量积学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一 空间向量的夹角1.文字叙述：a，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作OA＝a，OB＝b，则________叫做向量 a 与向量 b 的夹角，记作________.2.图形表示：角度表示〈a，b〉＝________〈a，b〉是________〈a，b〉是________〈a，b〉是钝角〈a，b〉＝________3.范围：________≤〈a，b〉≤________.4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称 a 与 b 互相垂直，记作________.知识点二 空间向量的数量积思考 两个向量的数量积是数量，还是向量？梳理 (1)定义：① 设 a，b 是空间两个非零向量，把数量______________叫做 a，b 的数量积.② 记作：a·b，即 a·b＝________________.(2)运算律：交换律a·b＝________________数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________(λ∈R)分配律a·(b＋c)＝________(3)坐标表示：已知非零向量 a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a·b＝________________.②a⊥b⇔________⇔________________.③|a|＝＝________________.④cos〈a，b〉＝________________________.知识点三 空间中两点间的距离公式思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？梳 理 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 设 A(x1 ， y1 ， z1) ， B(x2 ， y2 ， z2) ， 则 AB ＝________________________.类型一 空间向量的数量积运算命题角度 1 空间向量的数量积基本运算例 1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①p2·q2＝(p·q)2；②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；③ 若 a 与(a·b)·c－(a·c)·b 均不为 0，则它们垂直.(2)设 θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).反思与感悟 (1)已知 a，b 的模及 a 与 b 的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于 a 与 b 的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用 a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练 1 已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|＝________.命题角度 2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例 2 已知长方...
