第三章 数系的扩充与复数的引入[自我校对]①i2＝－1 ② a＝c，b＝d ③＝a－bi④Z(a，b) ⑤OZ ⑥a＋c ⑦(b＋d)i ⑧(a－c)＋(b－d)i 复数的概念及分类1.复数 a＋bi(a，b∈R)2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可． 当实数 a 为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)对应的点在直线 x－y＝0 上．【精彩点拨】 解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解．【规范解答】 (1)由 z∈R，得 a2－3a＋2＝0，解得 a＝1 或 a＝2.(2)z 为纯虚数，即故 a＝0.(3)z 对应的点在第一象限，1则∴∴a<0 或 a>2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题得(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，∴a＝2.[再练一题]1．当实数 m 为何值时，复数 z＝＋(m2－2m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 (1)当即 m＝2 时，复数 z 是实数．(2)当 m2－2m≠0，即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数．(3)当即 m＝－3 时，复数 z 是纯虚数． 复数的四则运算复数的运算是复数学习的核心，主要有加、减、乘、除运算，加减法是对应实、虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法实质上是分母实数化，可类比分式的分子分母有理化，注意 i2＝－1. 计算：12＋8.【精彩点拨】 先由－－i＝i，1－i＝(－2)，将原式化简，再利用－＋i 的特殊性进行求解．【规范解答】 原式＝i1212＋＝1×1＋＝1＋16＝－7＋8i.[再练一题]2．计算：(1)；(2)－.【解】 (1)原式＝＝－·＝－·(－4)·＝－1＋i.(2)原式＝－＝－＝－i＝i－i＝0. 共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|＝1⇔z＝.(2)z∈R⇔＝z.(3)z≠0，z 为纯虚数⇔＝－z. 设 z 是虚数，且|z|＝1，求证：u＝为纯虚数．【精彩点拨】 利用共轭复数的性质证明 u＋＝0.【规范解答】 z 为虚数，且|z|＝1，∴z·＝1，即＝.2 u＋＝＋＝＋＝＋＝0，∴u 为纯虚数．[再练一题]3．设|z|＝1，且 z≠±i，求证：为实数．【证明】 由条件可知 z≠0，则 z·＝|z|2＝1，所以＝＝z－1，＝＝＝＝＝，所以为实数． 复数的几何意义1.点 Z(a，b)或向量OZ称为复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的几何表示...
