高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程课堂导学三点剖析一、直线的方向向量 【例 1】 已知点 A(1,3,0),B(2,4,3)以AB的方向为正向,建立数轴,试求点 P,使得AP∶PB =1∶3.思路分析：求点 P,不妨先设 P(x,y,z)再利用条件构造等式.解：设 P(x,y,z)，由已知PB=3AP，∴OPOB =3(OAOP )，∴4OP=OB+3OA，OP = 41OB + 43OA ，∴(x,y,z)= 41 (2,4,3)+ 43 (1,3,0)=( 45 , 413 , 43 ).∴x= 45 ,y= 413 ,z= 43 ,即点 P( 45 , 413 , 43 ).温馨提示 求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解.二、平行与垂直【例 2】已知三棱锥 O—ABC 中，OA=OB=1，OC=2，OA，OB，OC 两两垂直，如何找出一点 D，使BD∥AC，DC∥AB？思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.解：建立如下图所示的空间直角坐标系 ,则 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由 BD∥AC,DC∥ABBD∥ AC, DC∥ AB,因此1.2,1,1)0,1,1()2,,()2,0,1(),1,(21zyxkzyxkzyx即 D 点的坐标为(-1,1,2).温馨提示 将线(或线段)的关系转化为向量关系,再过渡到空间直角坐标系中来是求解的关键.三、角和距离问题【例 3】 如下图,SA⊥面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC,求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值.思路分析:可先建立空间直角坐标系,利用点的坐标求余弦值.将几何问题代数化.解:以点 A 为坐标原点,AC 为 y 轴的正向建立空间直角坐标系.设 SA=AB=BC=a,则 B(22 a,22 a,0),C(0,2 a,0),S(0,0,a)那么 AB=(22 a,22 a,0),SC=(0,a2,-a).由 cos〈 AB, SC〉=333222aaaa.故 SC 与 AB 所成角的余弦值为33 .温馨提示 在求解有关角或距离的问题时,根据条件合理建立空间直角坐标系是求解的关键.各个击破类题演练 1 已知 A(1,1,0),B(2,2,3),且 BC = 41OA ,求点 C 坐标.解析:设 C(x,y,z).由 BC = 41OA ,2得OBOC = 41OA ,OC = 41OA +OB ,∴(x,y,z)= 41 (1,1,0)+(2,2,3)=( 49 , 49 ,3),∴C( 49 , 49 ,3).变式提升 1 已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,其中 A(1,1,2),B(2,3,4),若 C 点(0,1,1),D 点为(2,x,y),试求 D 点坐标.解析: AB=(1,2,2),CD=(2,x-1,y-1),则212112yx.得 x=5,y=5.∴D 点坐标为(2,5,5).类题演练 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，P、Q 分别是 BC、CD 上的动点，且|PQ|=2，确...