高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1.2 数学归纳法应用举例导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

3.1.2 数学归纳法应用举例1.进一步理解数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明整除问题以及平面几何中的有关问题.知识点 1 用数学归纳法证明整除性问题【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝0，a2＝1，当 n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an，求证：数列{an}的第 4m＋1 项(m∈N*)能被 3 整除.证明 (1)当 m＝1 时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当 m＝1 时，第 4m＋1 项能被 3 整除.(2)假设当 m＝k 时，a4k＋1能被 3 整除，则当 m＝k＋1 时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被 3 整除，又由假定知 a4k＋1能被 3 整除.∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被 3 整除.即当 m＝k＋1 时，a4(k＋1)＋1也能被 3 整除.由(1)和(2)知，对于 n∈N*，数列{an}中的第 4m＋1 项能被 3 整除.●反思感悟：本题若从递推式入手，设法求出通项公式，会相当困难.这时，可转向用数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1 (n∈N*)能被 x2＋3x＋3 整除.证明 (1)当 n＝1 时，(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，显然命题成立.(2)假设 n＝k (k≥1)时，命题成立，即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被 x2＋3x＋3 整除，则当 n＝k＋1 时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－11＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3).由假设可知上式可被 x2＋3x＋3 整除，即 n＝k＋1 时命题成立.由(1)(2)可知原命题成立.知识点 2 探索问题【例 2】 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论.解 取 n＝1，＋＋＝，令>⇒a<26，而 a∈N*，∴取 a＝25.下面用数学归纳法证明：＋＋…＋>.(1)n＝1 时，已证结论正确.(2)假设 n＝k (k∈N*)时，＋＋…＋>，则当 n＝k＋1 时，有＋＋…＋＋＋＋＝＋>＋. ＋＝>，∴＋－>0.∴＋＋…＋>.即 n＝k＋1 时，结论也成立.由(1)(2)可知，对一切 n∈N*，都有＋＋…＋>.故 a 的最大值为 25.●反思感悟：探索性问题一般从考查特例入手，归纳出一般结论，然后用数学归纳法证明体现了从特殊到一般的数学思想.2.已知 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整数 m，使得对任意 n∈N*，都能使 m 整除f(n)？如果存在，求出 m 最大的值，并证...