高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

第 1 课时 空间向量与平行关系学习目标：1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则 a 叫做平面 α 的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则 l∥m⇒a∥b⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ k ( a 2， b 2， c 2)线面平行设 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 面面平行设 α，β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ k ( a 2， b 2， c 2)[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面的单位法向量是唯一的．( )(2)一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行．( )(3)若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．若 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)A [AB＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]3．若直线 l 的方向向量 a＝(2,2，－1)，平面 α 的法向量 μ＝(－6,8,4)，则直线 l与平面 α 的位置关系是________. 【导学号：46342161】l⊂α 或 l∥α [ μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α 或 l∥α.][合 作 探 究·攻 重 难]求平面的法向量 如图 321，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．图 321(1)求平面 ABCD 的一个法向量；(2)求平面 SAB 的一个法向量；(3)求平面 SCD 的一个法向量．[解] 以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．(1) SA⊥平面 ABCD，∴AS＝(0,0,...