第 2 课时 空间向量与垂直关系学习目标：1.能利用平面法向量证明两个平面垂直．(重点)2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点，难点)[自 主 预 习·探 新 知]空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 线面垂直设直线 l 的方向向量是 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量是 u＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔( a 1， b 1， c 1) ＝ k ( a 2， b 2， c 2)(k∈R)面面垂直若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则 α⊥β ⇔ u⊥v ⇔u·v＝0⇔a1a2＋ b 1b2＋ c 1c2＝ 0 思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示] 垂直[基础自测]1．思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．( )(2)两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( )(3)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．若直线 l 的方向向量 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥α B．l⊥αC．l⊂αD．l 与 α 斜交B [ n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]3．若直线 l1的方向向量为 u1＝(1,3,2)，直线 l2上有两点 A(1,0,1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．l1⊥l2 [AB＝(1，－1,1)，u1·AB＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此 l1⊥l2.]4．已知两平面 α，β 的法向量分别为 u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面 α，β 的位置关系为________. 【导学号：46342167】α⊥β [u1·u2＝0，则 α⊥β.][合 作 探 究·攻 重 难]应用向量法证明线面垂直 如图 3210 所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1的中点．图 3210求证：AB1⊥平面 A1BD．[思路探究] 法一：通过证明AB1⊥BA1，AB1⊥BD，得到 AB1⊥BA1，AB1⊥BD法二：证明AB1与平面 A1BD 的法向量平行．[证明] 法一：如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO.因为△ABC 为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC⊥平面 BCC1B1，所以 AO⊥平面 BCC1B1.取 B1C1的中点 O1，以 O 为原点，以OB，...
