高中数学第三章空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法第3课时空间向量与空间角学案新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

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第 3 课时空间向量与空间角学习目标：1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)[自主预习·探新知]空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线 l1 与 l2所成的角 θ设 l1 与 l2 的方向向量为 a，b，则 cos θ＝|cos|＝直线 l 与平面 α 所成的角 θ设 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，则 sin θ＝|cos|＝二面角 αlβ 的平面角 θ设平面 α，β 的法向量为 n1，n2，则|cos θ|＝|cos|＝[0，π]思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？[提示] (1)设 n 为平面 α 的一个法向量，a 为直线 a 的方向向量，直线 a 与平面 α所成的角为 θ，则θ＝(2)条件平面 α，β 的法向量分别为 u，υ，α，β 所构成的二面角的大小为 θ，〈u，υ〉＝φ，图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ[基础自测]1．思考辨析(1)直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值等于直线与平面所成角的正弦值．( )(2)两条异面直线所成的角，不可能为钝角．( )(3)二面角的余弦值等于二面角的两个半平面的法向量所成角的余弦值．( )[答案] (1)× (2)√ (3)×2．已知向量 m，n 分别是直线 l 与平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则 l 与 α 所成的角为( )A．30° B．60° C．150° D．120°B [设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°，应选 B．]3．长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线 AC 与 BC1所成角的余弦值为________. 【导学号：46342174】 [如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)．∴AC＝(1,1,0)，BC1＝(0,1,3)，cos〈AC，BC1〉＝＝＝＝.综上，异面直线 AC 与 BC1所成角的余弦值为.][合作探究·攻重难]求两条异面直线所成的角如图 3220 ，在三棱柱 OABO1A1B1 中，平面 OBB1O1⊥ 平面 OAB ， ∠ O1OB ＝60°，∠AOB＝90°，且 OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小．图 3220[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)...

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