第三讲 柯西不等式与排序不等式 对应学生用书 P37考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验1．(陕西高考)设 a，b，m，n∈R ，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，将已知代入得 m2＋n2≥5⇒ ≥，当且仅当“＝”时等号成立．答案：2．(福建高考)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为 a.(1)求 a 的值；(2)若 p，q，r 是正实数，且满足 p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a＝3.(2)由(1)知 p＋q＋r＝3，又因为 p，q，r 是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即 p2＋q2＋r2≥3. 对应学生用书 P37利用柯西不等式证明有关不等式问题柯 西 不 等 式 的 一 般 形 式 为 (a ＋ a ＋ … ＋ a)(b ＋ b ＋ … ＋ b)≥(a1b1 ＋ a2b2 ＋ … ＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．[例 1] 已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋.[证明] 由柯西不等式(＋＋＋)(＋＋＋)≥(＋＋＋)2，于是＋＋＋≥＋＋＋①等号成立⇔＝＝＝⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d.又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立．即＋＋＋>＋＋＋.利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．[例 2] 设 a，b，c 为实数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.[证明] 由对称性，不妨设 a≥b≥c，于是 a12≥b12≥c12，≥≥.由排序不等式：顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋.①又因为 a11≥b11≥c11，≤≤，再次由排序不等式：反序和≤乱序和得＋＋≤＋＋.②由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等...
