3.4 反证法一、选择题1．“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”的否定为( )A．自然数 a，b，c 都是奇数B．自然数 a，b，c 都是偶数C．自然数 a，b，c 中至少有两个偶数D．自然数 a，b，c 都是奇数或至少有两个偶数【答案】 D【解析】 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．2．反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾，这个矛盾可以是( )① 与已知矛盾② 与假设矛盾③ 与定义、定理、公理、法则矛盾④ 与事实矛盾A．①② B．③④C．①②③ D．①②③④【答案】 D3．用反证法证明“如果 a＞b，那么＞”假设内容应是( )A.＝ B.＜C.＝ 且＜ D.＝ 或＜【答案】 D【解析】 ＞的否定应是≤，即＝或＜，故选 D.二、填空题4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，故假设错误．② 所以一个三角形不能有两个直角．③ 假设△ABC 中有两个直角，不妨设 A＝90°，B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】 ③①②【解析】 考查反证法的证题步骤．5．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖了．”乙说：“甲、丙都未获奖”．丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．【答案】 丙【解析】 若甲获奖了，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．三、解答题6．已知非零实数 a，b，c 构成公差不为 0 的等差数列，求证：，，不能构成等差数列．[证明] 假设，，能构成等差数列，则由＝＋，于是得 bc＋ab＝2ac.①而由于 a，b，c 构成等差数列，即 2b＝a＋c.②所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得 a＝b＝c，这与 a，b，c 构成公差不为 0 的等差数列矛盾．故假设不成立，因此，，不能构成等差数列．
