高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角 θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一 直线与平面所成的角思考 斜线和平面所成的角具有什么性质？梳理 (1)直线与平面所成的角(2)最小角定理知识点二 二面角及理解思考 如何找二面角的平面角？梳理 (1)二面角的概念① 二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线 l 叫做二面角的______，每个半平面叫做二面角的______，如图中的 α，β.② 二面角的记法：棱为 l，两个面分别为 α，β 的二面角，记作 α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作 A—l—B，也可记作 2∠l.③ 二面角的平面角：在二面角 α—l—β 的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角 α—l—β 的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点 O 在 l 上的位置无关．④ 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．⑤ 二面角的范围是[0°，180°]． (2)用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法① 如图，分别在二面角 α—l—β 的面 α，β 内，并沿 α，β 延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．② 如图，设 m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与该二面角大小相等或互补．类型一 求直线与平面的夹角例 1 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角．反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．跟 踪 训 练 1 如 图 所 示 ， 已 知 直 角 梯 形 ABCD ， 其 中 AB ＝ BC ＝ 2AD ， AS⊥ 平 面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且 AS＝AB.求直线 SC 与底面 AB－CD 的夹角 θ 的余弦值．类型二 求二面角例 2 在底面为平行四边形的四棱锥 P－ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝AB，E是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角．反思与感悟...