高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学案（含解析）新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3.2.4 二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角 θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一 直线与平面所成的角1．直线与平面所成的角2．最小角定理知识点二 二面角及理解1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线 l 叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的 α，β.(2)二面角的记法：棱为 l，两个面分别为 α，β 的二面角，记作 α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作 A—l—B，也可记作 2∠l.(3)二面角的平面角：在二面角 α—l—β 的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角 α—l—β 的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点 O 在 l 上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角 α—l—β 的面 α，β 内，并沿 α，β 延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设 m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与该二面角大小相等或互补．1．直线与平面所成的角 α 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 β 互余．( × )2．二面角的大小范围是.( × )3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × )题型一 求直线与平面的夹角例 1 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角．解 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，方法一 取 A1B1的中点 M，则 M，连接 AM，MC1，则MC1＝，AB＝(0，a,0)，AA1＝(0,0，a)．∴MC1·AB＝0，MC1·AA1＝0，∴MC1⊥AB，MC1⊥AA1，则 MC1⊥AB，MC1⊥AA1.又 AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面 ABB1A1.∴∠C1AM 是 AC1与侧面 ABB1A1所成的角．由于AC1＝，AM＝，∴AC1·AM＝0＋＋2a2＝，|AC1|＝＝a，|AM|＝＝a，∴cos〈AC1，AM〉＝＝. 〈AC1，AM〉∈[0°，180°]，∴〈AC1，AM〉＝30°，又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，∴AC1与侧面 A...