高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数 3.1.1 分数指数幂名师导航学案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案

3.1.1 分数指数幂名师导航知识梳理 指数与指数幂的运算1.根式的概念 一般地，如果__________，那么 x 叫做 a 的 n 次方根(n th root)，其中 n>1，且n∈N*. 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个__________，负数的 n 次方根是一个__________.此时，a 的 n 次方根用符号__________表示.式子叫做根式(radical)，这里 n 叫做根指数(radical exponent)，a 叫做被开方数(radicand).当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为___________.此时，正数 a 的正的 n 次方根用符号表示，负的 n 次方根用符号___________表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成±(a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作=0. 结论：当 n 是奇数时，=______________; 当 n 是偶数时，=|a|=2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定：(a>0,m、n∈N*,n>1), (a>0,m、n∈N*,n>1). 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义.指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.有理数指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+s(a>0,r、s∈Q);(2)(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).4.无理数指数幂 结合教材实例利用逼近的思想理解无理数指数幂的意义.指出：一般地，无理数指数幂aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.疑难突破 分数指数幂有哪些常用公式? 根据 n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：(1)当 n 为任意正整数时，()n=a.例如，()3=27，()5=-32.(2)当 n 为奇数时，=a；当 n 为偶数时，=|a|=例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.(3)根式的基本性质：(a≥0).注意，(3)中的 a≥0 十分重要，无此条件则公式不成立.例如:≠.问题探究问题 1 在初中数学中，我们曾经学习过整数指数幂的概念和整数指数幂的运算，你能说出整数指数幂的含义及幂的运算性质吗？探究思路：在初中我们学习过正整数指数幂，正整数指数幂的意义是：一个数 a 的 n 次幂表示 n 个 a 相乘所得的积.正整数指数幂有五条运算性质：(1)am×an=am+n；(2)am÷an=am-n(a≠0，m＞n)；(3)(am)n=amn；(4)(a×b)n=an×bn；(5)()n=(b≠0).问题 2 什么叫做实数 a 的 n 次实数方根？探究思路：一般地，如果一个实数 x 满足 xn=a(n＞1，n∈N*)...