高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2 对数函数习题课学案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案

对数函数习题课1．理解对数的概念及其运算性质．2．理解对数函数的概念，了解对数函数的性质，能利用这些性质解决相关问题．3．知道指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数．反函数一般地，如果函数 y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作 y ＝ f － 1 ( x ) ，反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数 y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域相互对换，单调性相同，图象关于直线 y ＝ x 对称．并不是所有的函数都有反函数．例如函数 y＝x2没有反函数．只有“一对一”的函数，即对任意 x1≠x2能推断出 f(x1)≠f(x2)成立的函数 f(x)才具有反函数〔这里 x1，x2是 f(x)的定义域内的两个值〕．【做一做 1】函数 y＝－(x≠－1)的反函数是__________．解析：由原函数，得 x＋1＝－，从而 f－1(x)＝－－1(x≠0)．答案：y＝－－1(x≠0)【做一做 2】函数 y＝2x＋1(x∈R)的反函数是__________．解析： y＝2x＋1(x∈R)，∴x＝－1＋log2y(y＞0)．∴函数 y＝2x＋1(x∈R)的反函数为 y＝－1＋log2x(x＞0)．答案：y＝－1＋log2x(x＞0)题型一 对数的运算性质【 例 1 】 给 定 an ＝ log(n ＋ 1)(n ＋ 2) ， n∈N* ， 定 义 使 a1·a2·a3·…·ak 为 整 数 的k(k∈N*)叫做“企盼数”，求区间(1,62)内的所有企盼数的和．分析：本题给出了“企盼数”的定义，其条件为 k 个数之积为整数，而这 k 个数的底数是不同的，所以联想到用换底公式来求解．解： an＝log(n＋1)(n＋2)，∴a1·a2·a3·…·ak＝log23×log34×log45×…×log(k＋1)(k＋2)＝×××…×＝＝log2(k＋2)．设 log2(k＋2)为整数 m，即 log2(k＋2)＝m(m∈Z)．∴k＋2＝2m，即 k＝2m－2.又 k∈(1,62)，即 1＜2m－2＜62，∴3＜2m＜64.∴m＝2,3,4,5，代入 k＝2m－2 得到 k＝2,6,14,30.∴区间(1,62)内所有“企盼数”之和为 2＋6＋14＋30＝52.反思：换底公式是架设在不同底数的对数运算中的桥梁，通过这一公式可进行对数之间的运算，如通分、约分等．题型二 对数函数模型【例 2】定义：函数 y＝f(x)，x∈D，若存在常数 C，对于任意 x1∈D，存在惟一的x2∈D，使得＝C，则称函数 f(x)在 D 上的“均值”为 C.已知 f(x)＝lg x，x∈[10,100]，求函数 f(x)＝lg x 在[10,100]上的均...