第 5 课时 对数的运算性质与换底公式1.掌握对数的运算性质,能运用运算性质进行对数的有关运算.2.理解换底公式,能运用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数,并进行化简或计算.人民网北京 2013 年 11 月 23 日电:23 日白天,华北、黄淮和江淮等地连续第三天出现雾霾天气.其中,霾主要出现在河北中南部和东部、北京南部、天津、辽宁中东部及黄淮、江淮等地.中央气象台 23 日 18 时继续发布霾黄色预警.雾霾天气已经严重影响了人们的正常生活,为治理雾霾天气,政府采取了多种强有力的措施,其中有的城市着重强化增加城市的绿地面积.假设从 2014 年起逐年增加城市绿化面积,若每年新增绿地亩数比上一年增加 10%,从而力争逐步将城市的绿地面积翻两番.问题 1:如何计算该城市在哪一年要实现绿地面积翻两番?若设该市 2013 年年底有绿地面积 a,则经过 1 年,即 2014 年的绿地面积是 a+a·10%=a(1+10%);再经过一年 ,即 2015 年的绿地面积是 a(1+10%)2; 经过 3 年, 即 2016 年的绿地面积是a(1+10%)3,…,经过 x 年的绿地面积是 a(1+10%)x,依题意,a(1+10%)x=4a,即(1+10%)x=4,∴x=log1.14=≈15.∴大约经过 15 年,也就是到 2028 年该市的绿地面积将翻两番.问题 2:对数的运算性质如果a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(M·N)= ; ②loga = ; ③logaMn= (n∈R). 问题 3:对数运算性质 loga(MN)=logaM+logaN 能否推广?可以推广到 n 个数的情形,即:loga(M1M2M3…Mn)= (其中 a>0,a≠1,M1,M2,M3,…,Mn 均大于 0). 问题 4:(1)换底公式:① 已知 a>0,b>0,且 a≠1,c≠1,把对数 logab 化成底数为 c 的对数表示,即logab= . ② 已知 a>0,b>0, 且 a≠1,m,n∈N*,把对数 lobn 化成底数为 a 的对数表示 , 即 lobn= . (2)换底公式的意义与作用:在化简求值过程中,出现不同底数的对数不能运用运算法则时,可统一化成以同一个实数为底的对数,再根据运算法则进行化简与求值.在使用换底公式时,应根据实际情况选择底数,一般将对数化为常用对数或自然对数,然后化简求值.1.已知 a>0 且 a≠1,则 loga2+loga = . 2.若 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,且 M>N,给出下列式子:①logaM·logaN=loga(M+N);②logaM·logaN=loga(M·N);③loga =;④logaM-logaN=loga(M-N).其中不正确的是 . 3.若 lg a 与 lg b 互为相反数,则 a 与 b 的关系是 . 4.若 a>0,且 a≠1,b>0,且 b≠1,则由换底公式可知 lo...
