高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数名师导航学案 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案

3.3 幂函数名师导航知识梳理1.幂函数的概念 定义：形如___________的函数叫做幂函数，其中___________是自变量，___________是常数. 注意：在这里我们只讨论 α 为有理数时的简单的幂函数.虽然 y=x、y=x2是幂函数，但并 不 是 所 有 的 一 次 函 数 、 二 次 函 数 都 是 幂 函 数 ， 如 ： y=x+1 、 y=2x2+1 、 y=x-1、y=x2+2x、y=2x 都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.2.幂函数的定义域 幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数 x 的集合. 如果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给 出字母指数，应分四种情况讨论 y=xn的定义域.(1)当指数 n 是正整数时，y=xn的定义域是___________.(2)当指数 n 是正分数时，设 n=(p、q 是互质的正整数，q>1)，则 xn=.如果 q 是奇数，y=xn的定义域是_____________；如果 q 是偶数，y=xn的定义域是_____________.(3)当指数 n 是负整数时，设 n=-k，则 xn=.显然 x≠0，y=xn的定义域是.(4)当指数 n 是负分数时，设 n=-(p、q 是互质的正整数，q>1),则 xn=.如果 q 是奇数，y=xn的定义域是_____________；如果 q 是偶数，y=xn的定义域是_____________.3.幂函数的图象 描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键. 例如，画出函数 y=x-2，y=的图象. y=x-2定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)(图(1)),x…-3-2-1-123…y=x-2…1441… y=定义域为(0,+∞)(图(2)).x…14…y=…4321… (1) (2)4.幂函数的性质 当 n>0 时，幂函数 y=xn有下列性质：(1)图象都通过点(0，0)，(1，1)；(2)在第一象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大. 当 n<0 时，幂函数 y=xn的性质：(1)图象都过点(1，1);(2)图象以直线 x=0，y=0 为渐近线;(3)在第一象限内的图象是下降的，即函数值 y 随 x 的增大而减小;(4)x∈(0,1)时，n 越大曲线越靠近 y 轴,x∈(1,+∞)时，n 越小曲线越靠近 x 轴.疑难突破1.幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性质是什么？幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR［0,+∞){x|x∈R 且 x≠0}值域R［0,+∞)R［0,+∞){y|y∈R 且 y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈［0,+∞)时,增;x∈(-∞,0)时,减增增x∈(0,+∞)时,减;x∈(-∞,0)时,减过定点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)...