高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.2 指数扩充及其运算性质学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案VIP专享

3.2 指数扩充及其运算性质 1. 理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2. 了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 3. 掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点)[基础·初探]教材整理 1 分数指数幂阅读教材 P64～P66的有关内容，完成下列问题． 1. 定义给定正实数 a，对于任意给定的正整数 m，n(m，n 互素)，存在唯一的正实数 b，使得b n ＝ a m ，把 b 叫作 a 的次幂，记作 b＝，它就是分数指数幂． 2. 几个结论(1)正分数指数幂的根式形式：＝(a>0)．(2)负分数指数幂的意义：＝ (a>0，m，n∈N＋，且 n>1)．(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 表示个 2 相乘．( )(2) ＝(a>0，m，n∈N＋，且 n>1)．( )(3) ＝(a>0，m，n∈N＋，且 n>1)．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√教材整理 2 指数运算的性质阅读教材 P66～P67的有关内容，完成下列问题．若 a>0，b>0，对任意实数 m，n 指数运算有以下性质：(1)am·an＝a m ＋ n ；(2)(am)n＝；(3)(ab)n＝a n b n ；(4)当 a≠0 时，有＝(5)n＝(b≠0)． ＋160.75＋＝________.【解析】 原式＝＋＋＝－1＋23＋＝＋8＋＝11.【答案】 11[小组合作型]根式与分数指数幂的互化 将下列根式化成分数指数幂的形式．(1)·；(2)；(3)·；(4)()2·.【精彩点拨】 利用根式与分数指数幂的转化式子：＝和＝＝进行转化，注意其中字母 a 要使式子有意义．【尝试解答】 (1)原式＝·＝；(2)原式＝··＝；(3)原式＝·＝；(4)原式＝()2··＝.根式与分数指数幂互化的关键与技巧：1关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a>0，m，n∈N＋，且 n>1.2  技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.[再练一题] 1. 用分数指数幂表示下列各式．(1)·(a<0)；(2)(a，b>0)；(3) (b<0)；(4)(x≠0)．【解】 (1)原式＝·＝·＝ (a<0)；(2)原式＝＝(·)＝ (a，b>0)；(3)原式＝ (b<0)；(4)原式＝.分数指数幂的运算 计算下列各式． 【精彩点拨】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数；(2)将根式化为分数指数幂．进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般...