3.2.1 对数及其运算预习导航课程目标学习脉络1．理解对数的概念及其运算性质，掌握积、商、幂的对数的运算法则．2．知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．了解对数的发现历史及对简化运 算的作用.1．对数的概念(1)一般地，对于指数式 ab＝N，我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN，即 b ＝ logaN ( a >0 ，且 a ≠1) ． 其中，数 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以 a 为底 N的对数”．(2)以 10 为底的对数称为常用对数，即 log10N，记作 lg_N；(3)以无理数 e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，即 logeN，记作 ln_N.思考 1 为什么规定在对数 logaN 中，a>0，且 a≠1 呢？提示：(1)当 a<0 时，N 取某些值时，logaN 无意义，如根据指数的运算性质可知，不存在实数 x 使＝2 成立，所以 log无意义，所以 a 不能小于 0.(2)当 a＝0，N≠0 时，不存在实数 x 使 ax＝N，无法定义 logaN.当 N＝0 时，任意非零正实数 x，有 ax＝N 成立，logaN 不确定．(3)当 a＝1 时，N≠1，不存在实数 x，使 ax＝N，logaN 无意义．N＝1，ax＝N 恒成立，logaN 不能确定．2．对数的性质性质 1负数和零没有对数，即 N >0 性质 21 的对数为 0，即 loga1＝0(a>0，且 a≠1)性质 3底的对数是 1，即 logaa＝1(a>0，且 a≠1)思考 2 为什么零和负数没有对数？提示：因为 x＝logaN(a>0，且 a≠1)⇔ax＝N(a>0，且 a≠1)，而 a>0，且 a≠1 时，ax恒大于 0，即 N>0.故 0 和负数没有对数．3．积、商、幂的对数的运算法则a>0，a≠1，M>0，N>0运算数学表达式自然语言积的对数loga(MN)＝logaM ＋ log aNloga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋ log aN2＋…＋ log aNk(Ni>0，i＝1,2，…，k)正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和商的对数loga＝logaM － log aN两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数logαMα＝α log aM(α∈R)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数特别提醒(1)应用公式时需要注意法则的适用范围，并且公式可以正用、逆用和变形用．(2)当心记忆错误：如 loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.4．对数的换底公式一般地，我们有 logbN＝ (a>0，a≠1，b>0，b≠1，N>0)，这个公式称为对数的换底公式．通过换底公式可推导出两个重要的结论：(1)logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)；(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0)．思考 3 如何用换底公式证明 loganbm＝logab(a>0，b>0，a≠1，n≠0)?提示：左边＝loganbm＝＝＝logab＝右边．
