§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点 三种函数类型的增长比较 [填一填]在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝xn(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于 y＝xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个 x0，当 x>x0时，就有 logax
1)和幂函数 y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内，ax会小于 xn，但由于 ax的增长快于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 x>x0时，就会有 ax>xn.同样地，对于对数函数 y＝logax(a>1)和幂函数 y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着 x的增大，logax 增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与 x 轴平行一样．尽管在 x 的一定变化范围内，logax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 x>x0时，就会有 logax1)，y＝logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n>0 )的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个 x0，当 x>x0时，就有 logax0)则可以描述增长幅度不同的变化，n 值较小(n≤1)时，增长较慢；n 值较大(n>1)时，增长较快．类型一 函数增长快慢的比较 【例 1】 试利用图像比较 y＝x2和 y＝2x的增长情况．【思路探究】 应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．【解】 为观察到 y＝x2和 y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：对应表 1 的图像如图(1)．对应表 2 的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x 和 y＝x2 的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x∈(0,2)时，2x>x2；当 x∈(2,4)时，2x4...
