§1 椭__圆1．1 椭圆及其标准方程椭圆的定义设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．问题 1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题 2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题 3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义定义平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆焦点两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点焦距两焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距集合语言P＝{M|| MF 1| ＋ | MF 2| ＝ 2 a, 2a＞|F1F2|}椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知 A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题 1：若动点 P 满足|PA|＋|PB|＝6，则 P 点的轨迹方程是什么？提示：＋＝1.问题 2：若动点 P 满足|PC|＋|PD|＝6，则动点 P 的轨迹方程是什么？提示：＋＝1.椭圆的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标(± c, 0) (0 ， ± c ) a、b、c的关系a 2 － b 2 ＝ c 2 1．平面内点 M 到两定点 F1，F2的距离之和为常数 2a，当 2a>|F1F2|时，点 M 的轨迹是椭圆；当 2a＝|F1F2|时，点 M 的轨迹是一条线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，点 M 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，若含 x2项的分母大于含 y2项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之焦点在 y 轴上．椭圆的标准方程[例 1] 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点 A(，－2)和点 B(－2，1)．[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定 a 和 b 的值．[精解详析] (1)焦点在 y 轴上，设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)⇒⇒⇒∴椭圆的标准方程为＋＝1 或＋＝1.(3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.② 当焦点在...
