§3 双_曲_线3．1 双曲线及其标准方程双曲线的定义2013 年 11 月 30 日，中国海军第 16 批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距 1 600 m 的“盐城”舰，3 秒后也监听到了马达声(声速 340 m/s)，用 A、B 分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点 M 表示快艇的位置．问题 1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：|MB|－|MA|＝340×3＝1 020(m)．问题 2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？提示：始终满足|MB|－|MA|＝1 020.双曲线的定义定义平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线焦点定点 F 1， F 2 叫作双曲线的焦点焦距两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距集合语言P＝{M|＝2a,0＜2a＜|F1F2|}双曲线的标准方程上述问题中，设|AB|＝1 600＝2c, ||MA|－|MB||＝1 020＝2a.问题 1：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则点 M的轨迹方程是什么？提示：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．问题 2：若以 AB 所在直线为 y 轴，AB 的垂直平分线为 x 轴，则点 M 的轨迹方程为什么？提示：(c2－a2)y2－a2x2＝a2(c2－a2)．双曲线的标准方程焦点位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图像标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1( － c, 0) ；F2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ；F2(0 ， c ) a，b，c 的关系c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 1．双曲线定义中＝2a(0<2a<|F1F2|)，不要漏掉绝对值符号．当 2a＝|F1F2|时，表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b 不一定成立．c2＝a2＋b2与椭圆中的 a2＝b2＋c2不同．双曲线的标准方程[例 1] 根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆＋＝1 的短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过 M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[精解详析] (1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点 F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的标准方程...
