§4 曲线与方程4．1 曲线与方程在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题 1：直线 y＝x 上任一点 M 到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题 2：到两坐标轴距离相等的点都在直线 y＝x 上吗？提示：不一定．问题 3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.方程的曲线、曲线的方程在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．曲线与方程的概念的理解[例 1] (1)判断点 A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程 x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程 x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是 C，若点 M(m，)与点 N 在曲线 C 上，求m，n 的值．[思路点拨] 由曲线与方程的关系知，只要点 M 的坐标适合曲线的方程，则点 M 就在方程所表示的曲线上；而若点 M 为曲线上的点，则点 M 的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．[精解详析] (1)把点 A(－4,3)的坐标代入方程 x2＋y2＝25 中，满足方程，且点 A 的横坐标满足 x≤0，则点 A 在方程 x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；把点 B(－3，－4)的坐标代入 x2＋y2＝25，因为(－3)2＋(－4)2＝34≠25，所以点 B 不在方程 x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．把点 C(，2)的坐标代入 x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，满足方程，但因为横坐标不满足 x≤0 的条件，所以点 C 不在方程 x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．(2)因为点 M(m，)，N 在曲线 C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以 m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)，解得 m＝±，n＝±或±.[一点通] 1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．“点 M 在曲线 y2＝4x 上”是“点 M 的坐标满足方程 y＝－2”的(...
