高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4.3 直线与圆锥曲线的交点学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

4.3 直线与圆锥曲线的交点学习目标 1.会求曲线的交点.2.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.3.理解弦长公式及其求解与应用.知识点一 两条曲线的交点在平面直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 C1，C2，它们由如下方程确定：C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0.求曲线 C1和 C2的交点，即要求出这些交点的______.设 M(x0，y0)是曲线 C1和 C2的一个交点.因为点 M 在曲线 C1上，所以它的坐标满足方程 f(x，y)＝0；因为点 M 在曲线 C2上，所以它的坐标也满足方程 g(x，y)＝0.从而，曲线 C1和 C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.知识点二 直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的三种位置关系当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，称直线与椭圆相离.2.直线与椭圆位置关系的判定直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同，即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题，从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系.具体的步骤为：(1)联立成方程组；(2)消元，转化为一元二次方程；(3)计算 Δ＝b2－4ac.当 Δ＞0 时，直线与椭圆相交，有两个交点；当 Δ＝0 时，直线与椭圆相切，有且只有一个交点；当 Δ＜0 时，直线与椭圆相离，没有交点.知识点三 直线与双曲线的位置关系已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0).(1)当直线的斜率存在时，设直线方程为 y＝kx＋m.将双曲线方程与直线方程联立成方程组，消去 y，整理得(b2－a2k2)x2－2mka2x－a2(m2＋b2)＝0.(*)当 b2－a2k2＝0，即|k|＝时，若 m＝0，则直线与双曲线的渐近线重合，直线与双曲线无交点，若m≠0，则直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点.当 b2－a2k2≠0，即|k|≠时，① 当|k|＞时，若方程(*)的判别式 Δ＞0，则直线与双曲线的一支有两个不同的交点，相交，若 Δ＝0，则直线与双曲线有且只有一个公共点，相切，若 Δ＜0，则直线与双曲线没有交点，相离.② 当|k|＜时，直线与双曲线的两支各交于一点.(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为 x＝n.当|n|＞a 时，直线与双曲线的一支交于两点；当|n|＝a 时，直线与双曲线的一支切于顶点；当|n|＜a 时，直线与双曲线无交点.1知识点四 直线与抛物线的位置关系(1)当直线的斜率存在时，设直线 l：y＝kx＋b，抛物线...