格林公式定理 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P（ x ，y）及 Q （ x ，y)在 D 上具有一阶连续偏导数，则有其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域 D 上的二重积分与沿闭区域 D 的正向边界曲线 L 上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。 （四）例题【 例 1- 3 - 22 】 计算半径为 R 、中心角为 2a 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I （线密度 μ＝ 1 ）。【解】 取圆弧的圆心为原点，对称轴为 x 轴，并使圆弧位于 y 轴的右侧（图 1 一 36 ) ，则 L 的参数方程为于是【 例 1- 3 - 23 】计算y2dx，其中 L 是半径为 a 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图 1 -3-7 ）。【 解】 L 是参数方程为当参数从 0 变到的曲线弧。因此． 五、积分的应用（一）定积分的应用 1 ．几何应用 （ 1 ）平面图形的面积 1 ）直角坐标情形设平面图形由曲线 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) ≥g （ x ) ）和直线 x = a 、 x = b所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积2 ）极坐标情形设平面图形由曲线 ＝（ )及射线＝a、＝所围成（图 1-3-9 ) ，则其面积（ 2 ）体积 l ）旋转体的体积设旋转体由曲线 y = f （ x ）与直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成（图 1-3 -10 ) ，则其体积（ 3 ）平面曲线的弧长 l ）直角坐标情形设曲线的方程为 y = f （ x ) （ a x b ) , f （ x ）在 [ a ，b]上具有一阶连续导数，则其弧长2 ）参数方程情形设曲线的参数方程为 x ＝（ t ) , y ＝（ t ) （at ）, （ t ）、（ t ）在[ a, ]上具有连续导数，则其弧长3 ）极坐标情形设曲线的极坐标方程为＝（） （ a ），（ ）在［ a ，］上具有连续导数，则其弧长 s =（ 2 ）水压力设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为 y 轴，x 轴铅直向下（图 1-3 -12 ) ，设薄板的形状为则薄板一侧所受的水压力为其中 为水的密度， g 为重力加速度。（二）二重积分的应用 1 ．曲面的面积设曲面的方程为 z = f （ x ，y)，在 x Oy面上的投影区域为 D , f （x，y）在 D 上具有一阶连续偏导数，则曲面的面积2 ．平面薄片的质量...
