第二章 矩阵及其运算王航平§2.1 基本概念2.1.1矩阵及其运算矩阵的定义：由个数排成 m 行 n 列的如下矩形阵列：称为矩阵。注：（1）矩阵符号与行列式符号之间的差异：矩阵符号是圆括号，而行列式符号是两竖； （2）矩阵是阵，即是一个表，而行列式是一个数值。矩阵的运算：加法：设两个矩阵，那末矩阵与的和记作，规定为注意：只有同型矩阵，相加才有意义。运算律：设都是矩阵，则 （1）加法交换律：； （2）加法结合律： （3）负 矩 阵：，则，有 （4）零 矩 阵：，。数乘：数与矩阵的乘积 运算律：设都是矩阵，都是数，则（1）数乘结合律：；（2）；（3）矩阵对数的加法的分配律：；（4）数对矩阵加法的分配律：。乘法：设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵 A 与 B 的乘积是一个矩阵，其中并把此乘积记为。即积矩阵的元素，为左矩阵的第行与右矩阵的第列对应元素乘积之和。注：两矩阵能相乘，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。运算律：设下述矩阵乘积均有意义（1）乘法结合律：；（2）乘积与数乘的关系：；（3）乘积对加法的左右分配律：，；（4）乘法单位元：。注： （1）矩阵乘法不满足交换律，即一般有：；（因此，所有乘法公式与二项式公式在矩阵中不成立。） （2）矩阵乘法不满足乘法左（右）消去律，即一般有：若，不一定有；或若，不一定有； （3）矩阵乘法有零因子：即且，有。矩阵的转置：设是一个矩阵，定义的转置为一个矩阵，它的第行正好是的第列。运算律：（1）； （2）； （3）； （4）。方阵乘积的行列式：定理：两个同阶方阵积的行列式等于行列式的积，即有。2．1．2逆矩阵逆矩阵的概念：设是 n 阶方阵，假如存在 n 阶方阵，使得且，则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为。可逆矩阵也称为非奇异矩阵。并非任意一个非零方阵都是可逆矩阵，不是可逆的矩阵称为奇异矩阵。逆矩阵适合的运算律（下列矩阵均假定是可逆矩阵）：（1）；（2）。 （3）； （4）。可逆矩阵和奇异矩阵的性质性质 1：可逆矩阵之积必为可逆矩阵。性质 2：任意一个方阵和同阶奇异阵之积必是奇异矩阵。伴随矩阵：设是一个 n 阶方阵，行列式中元素的代数余子式记为，称下列矩阵为的伴随矩阵，记为：伴随矩阵具有重要的性质：。定理：设是一个 n 阶方阵，则是可逆矩阵的充要条件是的行列式，这时。可逆矩阵的等价命题：（1）n 阶方阵可逆的充要条件是的行列式；（2）n 阶方阵可逆的充要条件是的秩；（3）n 阶方阵可...
