第六章--线性空间与线性变换

第六章 线性空间与线性变换沈 鸿6.1 基本概念 基本定理：6.1.1 线性空间基本概念1、 线性空间的概念 设 V 是一非集合，F 是一定数域，假如在 V 中定义了两种运算： （1）加法，即对 V 中任意两个元素与，按某一法则，在 V 中都有惟一的元素 γ 与之对应，称为和的和，记作=+；（2）数乘，即对 V 中任意元素和 F 中任意数 k，按某一法则，在 V 中有惟一的一个元素 δ 与之对应，称 δ 为 k 与的积，记作 δ=k;并且这两种运算满足以下八条运算规则，那么 V就称为数域 F 上的一个线性空间。其中八条运算规则是：（1）；（2）；（3）在 V 中有一元素，记为 0，对 V 中任一元素，都有+0=，称元素 0 为 V 的零元素；（4）对 V 中每一个元素，都有 V 中的一个元素，使得+=0，称为的负元素，记作-，即+（-）=0。（5）1·=;（6）k(l)=(kl) ；（7）(k+l) =k+l；（8）k(+)=k+k.其中，，是集合 V 中的任意元素，k, l 为 F 中的任意娄。2、子空间设 V 是一个线性空间，L 是 V 的一个非空子集，假如 L 对于 V 中所定义的加法和数乘运算也构成一个线性空间，就称 L 为 V 的子空间。n 元齐次线性方程组 AX=0 的解的全体是 Rn的一个子空间，称为 AX=0 的解空间。定理 1 线性空间 V 的非空子集 L 构成子空间的充分必要条件是 L 对于 V 中的线性运算封闭。6.1.2 基、维数与坐标1、基与维数定义在线性空间 V 中，假如存在 n 个元素 1，2，…，n，且满足：（1）1，2，…，n线性无关；（2）V 中的任一元素都可表示为 1，2，…，n的线性组合，则称 1，2，…，n为线性空间 V 的一个基；n 称为线性空间 V 的维数，并记为 dimV=n.线性空间中的任一元素都可表示为它的一个基的线性组合，且这种表示是惟一的。2、坐标的定义设 1，2，…，n是 n 维线性空间 V 的一个基，对于一个元素 αV，假如 ，则称有序数组为 α 在基下的坐标，记为或。3、同构在 n 维线性空间 V 中取定一个基后，V 中的每一个元素与有序数组构成一一对应关系。如此，就可将 V 中抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来。这个对应关系具有下列性质：设，则（1）（2）即这个对应关系保持线性组合的对应，因此可以说 n 维线性空间 V 与 Rn有相同的结构，称 V 与 Rn同构。一般地，设 V 与 U 是两个线性空间，假如在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线...