第四章齐线性方程组 何建军§4·1 基本概念4.1.1 线性方程组称含有个未知数的个一次方程的方程组 （4·0）为线性方程组，称为方程组的系数，称为常数项。 称为系数矩阵 称为增广矩阵 记 为的第列于是（4·0）可以写成矩阵形式 或者即向量形式 4.1.2 齐次线性方程组 即 （4·1） 称（4·1）为齐次线性方程组1、解向量：设是（4·1）的解，称维向量为（4·1）的解向量。2、解向量的性质（1）设是（4·1）的解向量，则也是（4·1）的解向量（2）设是（4·1）的解向量，是实数，则也是（4·1）的解向量3、解空间：齐次线性方程组（4·1）的解向量的全体。4、基础解系：齐次线性方程组（4·1）的解空间的基称为（4·1）的基础解系。设是齐次线性方程组（ 4·1）的解向量组，假如线性无关，（4·1）的任一解都能有线性表示。，5、零解与非零解：齐线性方程组，是它的解，称为零解；假如齐次方程组还有解，且全不为零，则称之为齐次线性方程组的非零解4.1.3 线性方程组的相容性与通解1、假如存在一组数当取时，方程组中各方程成为恒等式，则称为线性方程组的解；又称向量为线性方程组的解向量，此时。2、假如线性方程组的解存在，则称之为有解或相容；否则称为无解或不相容3、线性方程组的解的全体称为解集合（可能为空集，如无解的情形即为如此），能代表解集合中任一元素的代表式称为通解。假如两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解的。 §4·2 有关定理与性质4.2.1 定理定理 1、线性方程组的初等变换把线性方程组变为同解方程组 假如经过初等行变换变为，则方程组与方程组同解定理 2、元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩定理 3、元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广距阵的秩相等，即。4.2.2 有关结果齐次线性方程组非齐次线性方程组相容性有解必有解可有线性表示无解 不能有线性表示解的数目唯一解线性无关线性无关，且无穷多解线性相关线性相关，且解向量的性质解的全体构成向量空间，称为解空间，它的基称为基础解系，其维数为解的全体不构成向量空间假如是的解，则是的解是的解，是的解，则是的解解的结构通解其 中是的基础解系，通 解其 中是的 基 础 解 系 ，，是的特解定理 4、克拉默（Cramer）法则，假如含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组的系数行列式则方程组有唯一解，其中推论 含 n 个方程 n 个未知数的齐次线性方程组有非零解的充分必要条...
