一、填空题:本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在横线上.1.设集合与恰有一个公共元素为，则实数.2.从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率为.3.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是_______________.4.顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，为的中点，则当三棱锥的体积最大时，的长为______.5.已知复数的模为，则的最小值为_____________.6.在中，，则.二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.7.（满分16分）设是正整数的各位数字的乘积，求方程的正整数解.8．(满分16分)设,.证明：.19．(满分20分)设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示).10．(满分20分)设函数()满足求当时的最大值.2（3）（2）（1）2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题:本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在横线上.1.设集合与恰有一个公共元素为，则实数.答案：解析：因为所以公共元素为，解得。2.从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率为.答案：解析：如图，正边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有种情况；对于（2），有种情况；对于（3）；有种情况；故所求概率为3.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是_______________.答案：解析：，则，，，解得：，因点是线段上的一个动点，所以，综上，满足条件的的取值范围是.4.顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，为的中点，则当三棱锥的体积最大时，的长为______.3答案：.5.已知复数的模为，则的最小值为_____________.答案：解：在复平面内，设、，为单位圆上的点，问题转化为求的最小值，设，其中由于，必存在使，即等号可以取到.6.在中，，则.答案：解析：因为所以注意到：故.二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.7.（满分16分）设是正整数的各位数字的乘积，求方程的正整数解.解：设是位正整数，若，则,矛盾.此时无解.......4分4若，则，此方程无整数解.......8分若，且，则矛盾，......12分设，，解得，综上，方程的解为.......16分8．(满分16分)设,.证明：.证明：由递推式得所以.从而得.......4分又得数列单调递增,所以.特别地.......8分由递推式可得.从而.......12分由均值不等式及已证结论有.所以特别地故.......16分59．(满分20分)设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示).证明：设，代入椭圆方程得，设,则，.......5分两式相除得,.由题意知,.........10分从而........15分因为所以.......20分11．(满分20分)设函数()满足求当时的最大值.6解：由题意知，解得从而当时,.......5分因为时，从而......10分易知当时当时得.........15分最后取,则.故该函数满足题设条件且在上能取到最大值.因此的最大值为.......20分7
