一、填空题:本大题共6小题,每小题8分,共48分,把答案填在横线上.1.设集合与恰有一个公共元素为,则实数.2.从正九边形中任取三个顶点构成三角形,则正九边形的中心在三角形内的概率为.3.设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是_______________.4.顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,是底面圆周上的点,是底面圆内的点,为底面圆圆心,,垂足为,,垂足为,且,为的中点,则当三棱锥的体积最大时,的长为______.5.已知复数的模为,则的最小值为_____________.6.在中,,则.二、解答题:本大题共4小题,第7、8题各16分,第9、10题各20分,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.7.(满分16分)设是正整数的各位数字的乘积,求方程的正整数解.8.(满分16分)设,.证明:.19.(满分20分)设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示).10.(满分20分)设函数()满足求当时的最大值.2(3)(2)(1)2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案一、填空题:本大题共6小题,每小题8分,共48分,把答案填在横线上.1.设集合与恰有一个公共元素为,则实数.答案:解析:因为所以公共元素为,解得。2.从正九边形中任取三个顶点构成三角形,则正九边形的中心在三角形内的概率为.答案:解析:如图,正边形中包含中心的三角形有以下三种形状:对于(1),有种情况;对于(2),有种情况;对于(3);有种情况;故所求概率为3.设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是_______________.答案:解析:,则,,,解得:,因点是线段上的一个动点,所以,综上,满足条件的的取值范围是.4.顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,是底面圆周上的点,是底面圆内的点,为底面圆圆心,,垂足为,,垂足为,且,为的中点,则当三棱锥的体积最大时,的长为______.3答案:.5.已知复数的模为,则的最小值为_____________.答案:解:在复平面内,设、,为单位圆上的点,问题转化为求的最小值,设,其中由于,必存在使,即等号可以取到.6.在中,,则.答案:解析:因为所以注意到:故.二、解答题:本大题共4小题,第7、8题各16分,第9、10题各20分,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.7.(满分16分)设是正整数的各位数字的乘积,求方程的正整数解.解:设是位正整数,若,则,矛盾.此时无解.......4分4若,则,此方程无整数解.......8分若,且,则矛盾,......12分设,,解得,综上,方程的解为.......16分8.(满分16分)设,.证明:.证明:由递推式得所以.从而得.......4分又得数列单调递增,所以.特别地.......8分由递推式可得.从而.......12分由均值不等式及已证结论有.所以特别地故.......16分59.(满分20分)设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示).证明:设,代入椭圆方程得,设,则,.......5分两式相除得,.由题意知,.........10分从而........15分因为所以.......20分11.(满分20分)设函数()满足求当时的最大值.6解:由题意知,解得从而当时,.......5分因为时,从而......10分易知当时当时得.........15分最后取,则.故该函数满足题设条件且在上能取到最大值.因此的最大值为.......20分7