2024年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案VIP专享VIP免费

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设其导函数在x=0处连续，则的取值范围是.【分析】当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当时，有显然当时，有，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为.【分析】曲线在切点的斜率为0，即，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到与a的关系.【详解】由题设，在切点处有，有又在此点y坐标为0，于是有,故（3）设a>0，而D表示全平面，则=.【分析】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】==（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，，其中A的逆矩阵为B，则a=-1.【分析】这里为n阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有1====,于是有，即，解得由于A<0,故a=-1.（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若，则Y与Z的相关系数为0.9.【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为==E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有cov(Y,Z)==（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于.【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】这里满足大数定律的条件，且=，因此根据大数定律有依概率收敛于二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数2(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[D]【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有存在，故x=0为可去间断点.（2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A)在处的导数等于零.（B）在处的导数大于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在.[A]【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零,故应选(A).（3）设，，，则下列命题正确的是(A)若条件收敛，则与都收敛.(B)若绝对收敛，则与都收敛.(C)若条件收敛，则与敛散性都不定.(D)若绝对收敛，则与敛散性都不定.[B]【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛，再根据，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.[C]【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有，即有或a=b.3但当a=b时，显然秩(A),故必有ab且a+2b=0.应选(C).（5）设均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B)若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[B]【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数,都有，则必线性无关，因为若线性相关，则存在一组不全为零的数,使得，矛盾.可见（A）成立.(B):若线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数，都有(B)不成立.(C)线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组的秩为s，则线性无关，因此(C)成立.(D)线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各...