§2 导数的概念及其几何意义导数的概念一质点按规律 s＝2t2＋2t 做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)．问题 1：试求质点在前 3 秒内的平均速度．提示：8 米/秒．问题 2：试求质点在 3 秒时的瞬时速度．提示：＝＝14＋2Δt，当 Δt→0 时，→14，故质点在 3 秒时的瞬时速度为 14 米/秒．问题 3：对于函数 y＝f(x)，当 x 从 x0变到 x1时，求函数值 y 关于 x 的平均变化率．提示：＝.问题 4：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率趋于一个常数吗？提示：是．导数的概念1．定义：设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0变到 x1时，函数值从 f(x0)变到 f(x1)，函数值 y 关于 x 的平均变化率为＝＝，当 x1趋于 x0，即 Δx 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数 y＝f(x)在 x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0点的导数．2．记法：函数 y＝f(x)在 x0点的导数，通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝lim ＝lim .导数的几何意义问题 1：函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？提示：表示过 A(x0，f(x0))和 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．问题 2：当 Δx 变化时，直线如何变化？提示：直线 AB 绕点 A 转动．问题 3：当 Δx→0 时，直线变化到哪里？提示：直线过点 A 与曲线 y＝f(x)相切位置．导数的几何意义1．割线的定义：函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过 A(x0，f(x0))和 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线 y＝f(x)在点 A 处的一条割线．2．切线的定义：当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于点 A ，割线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直线 l，直线 l 和曲线 y＝f(x)在点 A 处“相切”，称直线 l 为曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线．3．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在 x0处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．1．函数 f(x)在点 x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若 lim 存在，则函数 y＝f(x)在点 x0处就有导数．2．f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率．求函数在某点处的导数[例 1] 求函数 y＝在 x＝2 处的导数．[思路点拨] 由所给函数解析式求 Δy＝f(Δx＋x0)－f(x0)；计算；求 lim .[精解详析] f...
