高中数学 第二章 基本初等函数（1） 2.2.1 对数与对数运算 第二课时 对数的运算学案（含解析）新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

第二课时 对数的运算对数的运算性质[提出问题]问题 1：我们知道 am＋n＝am·an，那么 loga(M·N)＝logaM·logaN 正确吗？举例说明．提示：不正确．例如 log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而 log24＝2.问题 2：你能推出 loga(MN)(M>0，N>0)的表达式吗？提示：能．令 am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n.由对数的定义知 logaM＝m，logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，∴loga(MN)＝logaM＋logaN.[导入新知]对数的运算性质若 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM ＋ log aN，(2)loga＝logaM － log aN，(3)logaMn＝n log aM(n∈R)．[化解疑难]巧记对数的运算性质(1)两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．(2)两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差．(3)正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.换底公式[提出问题]问题 1：(1)log28；(2)log232；(3)log832 各为何值？提示：(1)log28＝3；(2)log232＝5；(3)log832＝log88＝.问题 2：log832＝成立吗？提示：成立．[导入新知]换底公式若 c>0 且 c≠1，则 logab＝(a>0，且 a≠1，b>0)．[化解疑难]1．换底公式的推导设 x＝logab，化为指数式为 ax＝b，两边取以 c 为底的对数，得 logcax＝logcb，即xlogca＝logcb，所以 x＝，即 logab＝.2．换底公式常用推论loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0)．对数运算性质的应用[例 1] (1)若 a>0，且 a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④＝loga；⑤(logax)n＝logaxn；⑥ logax＝－loga；⑦＝loga；⑧ loga＝－loga.其中式子成立的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2)计算下列各式的值：①4lg 2＋3lg 5－lg；②；③2log32－log3＋log38－5；④log2＋log2.[解] (1)选 A 对于①，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log24·log22＝2×1＝2，而 log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取 x＝8，y＝4，a＝2，则 log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取 x＝4，y＝2，a＝2，则 log2(4×2)＝log28＝3，而 log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay 不成立；对于④，...