高中数学 第二章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则教学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教学案

§5 简单复合函数的求导法则已知 y＝(3x＋2)2，y＝sin.问题 1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题 2：试说明 y＝(3x＋2)2如何复合的．提示：令 u＝g(x)＝3x＋2，则 y＝u2，u＝3x＋2，y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.问题 3：试求 y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2 的导数．提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.问题 4：观察问题 3 中导数有何关系．提示：y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)．1．复合函数的概念对于两个函数 y ＝ f ( u ) 和 u ＝ φ ( x ) ＝ ax ＋ b ，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x 的函数，称这个函数为函数 y ＝ f ( u ) 和 u ＝ φ ( x ) 的复合函数，记作 y ＝ f ( φ ( x )) ，其中 u 为中间变量．2．复合函数的求导法则复合函数 y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝[ f ( φ ( x ))]′ ＝f ′( u ) φ ′( x ) ． 利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：(1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数．(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数．简单的复合函数求导[例 1] 求下列函数的导数：(1)y＝sin 3x；(2)y＝；(3)y＝lg(2x2＋3x＋1)；(4)y＝sin2.[思路点拨] 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．[精解详析] (1)设 y＝sin u，u＝3x，则 y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(3x)′＝cos u·3＝3cos 3x.(2)设 y＝u－，u＝1－2x2，则 y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(1－2x2)′＝－u－·(－4x)＝－(1－2x2) (－4x)＝2x(1－2x2) .(3)设 y＝lg u，u＝2x2＋3x＋1，则 y′x＝y′u·u′x＝(lg u)′·(2x2＋3x＋1)′＝·(4x＋3)＝.(4)设 y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋.则 y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2＝2sin v·cos v·2＝2sin 2v＝2sin.[一点通] 求复合函数导数的步骤：① 确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系 y＝f(u)，u＝g(x)；② 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求 f′(u)，再求 g′(x)．③ 计算 f′(u)·g′(x)，并把中间变量转化为自变量的函数．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．1．函数 y＝的导数是( )A. B.C．－ D.－解析： y＝＝(3x－1)－2，...