高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 第1课时 均值不等式学案（含解析）新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案

2．2.4 均值不等式及其应用第 1 课时 均值不等式[课程目标] 1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式≥求最值的常用方法及需注意的问题．知识点一 均值不等式 [填一填](1)如果 a ， b 都是正数 ，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式．(2)对任意两个正实数 a，b，我们称为 a，b 的算术平均值，称为 a，b 的几何平均值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．[答一答]1．如何证明均值不等式？提示：因为 a>0，b>0，所以－＝＝≥0，即≥.当且仅当＝，即 a＝b 时，等号成立．2．从几何角度如何解释均值不等式？提示：以长为 a＋b 的线段为直径作圆，在直线 AB 上取点 C，使 AC＝a，CB＝b.过点 C 作垂直于直线 AB 的弦 DD′，连接 AD、DB，如图，连接 BD′，易证 Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 CD2＝AC·CB，得 CD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD，即≥.当且仅当点 C与圆心重合，即 a＝b 时，等号成立．知识点二 均值不等式的应用 [填一填]设 x，y 都为正数，则有如下关系：(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x ＝ y 时，积 xy 取得最大值；(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x ＝ y 时，和 x＋y 取得最小值 2.[答一答]3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？提示：(1) x，y 都是正数，∴≥.又 x＋y＝s，∴xy≤()2＝，当且仅当 x＝y 时，取等号．故若 x＋y＝s，当 x＝y 时，积 xy取得最大值.(2) x，y 都是正数，∴≥，当且仅当 x＝y 时，等号成立．又 xy＝p，∴x＋y≥2.故若 xy＝p，当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2.类型一 均值不等式应用的条件 [例 1] 下列不等式的证明过程正确的是( )A．若 a，b∈R，则＋≥2＝2B．若 x，y∈R，则＝|x|＋≥2C．若 x 为负实数，则 x＋≥－2＝－4D．若 x≠0，则 x2＋≥2＝2[解析] 因 a，b∈R，故当 a，b 异号时，与均负，故直接用均值不等式是错误的，则A 选项错误；若 x，y∈R，＝|x|＋≥2，没有条件 xy>0，不成立，所以 B 选项错误；C 选项中，在 x<0 时，<0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x＋＝－≤－2＝－4，故 C 选项错误；故选 D.[答案] D 在应...