2.2.4 均值不等式及其应用第 1 课时 学习目标1.学会推导并掌握均值不等式.2.能够简单应用定理求最值.自主预习1.给定两个正数 a,b,数 称为 a,b 的算术平均值,数 称为 a,b 的几何平均值. 2.如果 a,b 都是正数,那么a+b2≥❑√ab,当且仅当 时,等号成立. 3.几何意义:所有周长一定的矩形中, 的面积最大. 课堂探究问题探究一(1)假设一个矩形的长和宽分别为 a 和 b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义.a12b14a+b213❑√ab1 2❑√2 问题探究二均值定理的几何解释:作线段 AD=a,延长 AD 至点 B,使 DB=b(a,b>0)以 AB 为直径作半圆 O,过 D 点作CD⊥AB 于 D,交半圆于点 C,连接 AC,BC,OC.当点 D 在线段 AB(端点除外)上运动时,试探讨OC 与 CD 的大小关系.典型例题:例 1 已知 x>0,求 y=x+1x的最小值,并说明当 x 为何值时 y 取得最小值.变式训练 1已知 x>0,y>0,xy=24,求 4x+6y 的最小值,并说明此时 x,y 的值.要点归纳在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值;三是考虑等号成立的条件是否具备.例 2 已知 ab>0,求证:ba+ab≥2,并推导出等号成立的条件.变式训练 2已知 ab>0,求证: b3a+3ab≥2,并推导出等号成立的条件.例 3 已知 x∈(-1,3),求 y=(1+x)(3-x)的最大值,以及 y 取得最大值时 x 的值.核心素养专练1.若 0
a+b2>❑√ab>bB.b>❑√ab>a+b2>aC.b>a+b2>❑√ab>aD.b>a>a+b2>❑√ab2.已知 a>0,b>0,则1a+1b+2❑√ab的最小值是( )A.2 B.2❑√2C.4 D.53.设 b>a>0,且 a+b=1,则此四个数12,2ab,a2+b2,b 中最大的是( )A.b B.a2+b2C.2abD.124.x∈[0,3],y=(1+x)(3-x)的最大值是 ,最小值是 . 参考答案自主预习1.a+b2 ❑√ab2.a=b3.正方形课堂探究典型例题 例 1 解:因为 x>0,所以根据均值不等式有 x+1x≥2❑√ x· 1x=2,其中等号成立的条件是当且仅当 x=1x,即 x2=1,解得 x=1 或 x=-1(舍去),因此 x=1 时,y 取得最小值 2.变式训练 1 解: x>0,y>0,∴4x+6y≥2❑√24× y.又 xy=24,∴4x+6y≥2❑√24×24=48.当且仅当 4x=6y ...
