2.2.4 均值不等式及其应用第 2 课时 学习目标1.理解均值不等式,并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题;2.认识到数学是从实际中来的,体会思考与发现的过程.自主预习一、常见的不等式1.a2+b2≥ (a,b∈R). 2.ab≤ ≤a2+b22(a,b∈R). 二、均值定理1.均值定理的内容: . 2.均值定理成立的条件: 、 、 . 课堂探究1.问题探究(情境引入)判断以下解题过程的正误(1)已知 x<0,求 x+1x的最值;解:x+1x≥2❑√ x· 1x=2,∴原式有最小值 2.(2)已知 x≥12时,求 x2+1 的最小值.解:x2+1≥2❑√ x2·1=2x,当且仅当 x2=1.即 x=1 时,x2+1 有最小值 2x=2.2.典型例题题型一 求一元解析式最值例 1 已知 x>2,则 x+ 4x-2 的最小值为 . 变式训练 已知 x<54 ,求函数 y=4x-2+14 x -5的最大值. 题型二 求二元解析式最值例 2 已知 x>0,y>0,且1x+ 9y =1,求 x+y 的最小值.变式训练 已知正数 x,y 满足 x+y=1,则1x+ 4y 的最小值是 . 题型三 均值不等式在实际问题中的应用例 3 (1)已知矩形的面积为 100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?(2)已知矩形的周长为 36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?例 3 的结论可以表述为:要点归纳:两个正数的积为常数时, . 两个正数的和为常数时, . 变式训练 将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A.6.5 mB.6.8 mC.7 m D.7.2 m 题型四 证明不等式例 4 已知 a,b 是实数,求证:a2+b2≥2ab.并说明等号成立的条件.变式训练 已知 a,b∈R,求证:(1)(a+b)2≥4ab;(2)2(a2+b2)≥(a+b)2.核心素养专练1.(多选)若 a,b∈R,且 a·b>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a2+b2≥2abB.a+b≥2❑√abC.1a+1b> 2❑√abD.ba+ab≥22.求函数 y= 1x-3 +x(x>3)的最小值.3.已知 x>0,y>0,且1x+ 1y =1,求 x+y 的最小值.参考答案自主预习略课堂探究例 1 解:x+ 4x-2 =x-2+ 4x-2 +2, x-2>0,∴x-2+ 4x-2 +2≥2❑√4+2=4+2=6.当且仅当 x-2=2,即 x=4 时取“=”. 变式训练 解: 4x-5<0,∴y=4x-2+14 x -5=-(5- 4 x+15- 4 x)+3≤-2+3=1,当且仅当 5-4x=15-4 x ,即 x=1 时,ymax=1.例 2 解: x>0,y>0,1x+ 9y =1,∴x+y=(1x + 9y)(x+y)= yx +9 xy +10≥6+10=16,当且仅当 yx =9 xy ,即 x=4,y=12 时,上式取...
