高中数学 第二章 参数方程章末小结与测评教学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教学案VIP专享

第二章 参数方程(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点 P 坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点 P 坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程． 过点 P(－2，0)作直线 l 与圆 x2＋y2＝1 交于 A、B 两点，设 A、B 的中点为 M，求 M 的轨迹的参数方程．[解] 设 M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 x＝ty－2.由消去 x 得(1＋t2)y2－4ty＋3＝0.∴y1＋y2＝，则 y＝.x＝ty－2＝－2＝，由 Δ＝(4t)2－12(1＋t2)>0 得 t2>3.∴M 的轨迹的参数方程为(t 为参数且 t2>3).在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去还要注意 x，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线． 已知曲线的参数方程为(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？[解] 由曲线的参数方程得 cos 2t＋sin 2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4.由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1.从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0.∴所求的曲线的参数方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)．这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2. 已知参数方程(t≠0)．(1)若 t 为常数，θ 为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若 θ 为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？[解] (1)当 t≠±1 时，由①得 sin θ＝，由②得 cos θ＝.∴＋＝1.它表示中心在原点，长轴长为 2，短轴长为 2，焦点在 x 轴上的椭圆．当 t＝±1 时，y＝0，x＝±2sin θ，x∈[－2，2]，它表示在 x 轴上[－2，2]的一段线段．(2)当 θ≠(k∈Z)时，由①得＝t＋.由②得＝t－.平方相减得－＝4，即－＝1，它表示中心在原点，实轴长为 4|sin θ|，虚轴长为 4|cos θ|，焦点在 x 轴上的双曲线．当 θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示 y 轴；当 θ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝0，x＝±. t＋≥2(t＞0 时)或 t＋≤－2(t＜0 时)，∴|x|≥2.∴方程为 y＝0(|x|≥2)，它表示 x 轴上以(－2，0)和(2，0)为端点的向左、向右的两条射线.求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关...