高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量的数乘学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

2．2.3 向量的数乘[学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．[知识链接]1．已知非零向量 a，作出 a＋a＋a 和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量 a 之间的关系吗？答OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a＝3a；a＋a＋a 的长度是 a 的长度的 3 倍，其方向与 a 的方向相同；O′C′＝O′A′＋A′B′＋B′C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是 a 长度的 3 倍，其方向与 a 的方向相反．2．已知非零向量 a，你能说明实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 的几何意义吗？答 λa 仍然是一个向量．当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0，方向任意．|λa|＝|λ|·|a|.[预习导引]1．向量的数乘一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当 λ >0 时，λa 与 a 方向相同；当 λ <0 时，λa 与 a 方向相反；当 a＝0 时，λa＝0；当λ＝0 时，λa＝0.实数 λ 与向量 a 相乘，叫做向量的数乘．2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线定理如果有一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使 b＝λa.要点一 向量的数乘运算例 1 化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法．跟踪演练 1 若向量 a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.答案 －16i＋j解析 －3＋(2b－a)＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋j－5i－4j＝－16i＋j.要点二 用已知向量表示未知向量例 2 如图所示，已知▱ABCD 的边 BC，CD 上的中点分别为 K，L，且AK＝e1，AL＝e2，试用e1，e2表示BC，CD.解 方法一...