2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 [学习目标] 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．[知识链接]1．平行向量基本定理的内容是什么？答 如果 a＝λb，则 a∥b；反之，如果 a∥b，且 b≠0，则一定存在唯一一个实数 λ，使a＝λb.2．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3，6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．[预习导引]1．两向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当 a∥b 时，有 x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时，有＝.即两向量的相应坐标成比例．2．若P1P＝λPP2，则 P 与 P1、P2三点共线．当 λ∈(0 ，＋∞ ) 时，P 位于线段 P1P2的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P1P2的中点；当 λ∈( －∞，－ 1) 时，P 位于线段 P1P2的延长线上；当λ∈( － 1,0) 时，P位于线段P1P2的反向延长线上.要点一 向量共线的判定例 1 已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解 AB＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)．CD＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 (－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，∴AB与CD共线且方向相反．方法二 CD＝－2AB，∴AB与CD共线且方向相反．规律方法 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪演练 1 已知 A、B、C 三点坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.证明 设点 E、F 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．依题意有，AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)． AE＝AC，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，∴点 E 的坐标为.同理点 F 的坐标为.∴EF＝.又×(－1)－4×＝0，∴EF∥AB.要点二 利用向量共线求参数例 2 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当 ka＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一的实数 λ，使 ka＋b＝λ(a－3b)...
