高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.2 平面向量基本定理学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

2.3.2 平面向量基本定理学习目标重点难点1．了解平面向量基本定理及其几何意义．2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决几何问题的重要思想方法．3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.重点：平面向量基本定理的理解和运用．难点：用平面向量基本定理解几何问题．疑点：1.基底不唯一，关键是不共线．2．基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被 a，e1，e2唯一确定的数量.平面向量基本定理定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数 λ1，λ2使________．不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组____．预习交流 1在表示向量时，基底唯一吗？有什么特征？预习交流 2同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？预习交流 3若 a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量 a 写为 λ1b＋λ2c 的形式是______．答案：a＝λ1e1＋λ2e2 基底预习交流 1：提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一．(2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．预习交流 2：提示：可能不同．预习交流 3：－b＋c在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1．用基底表示向量如图所示，在ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d表示AB，AD.思路分析：本题直接用 c，d 表示AB，AD有一定的困难，可以换一个角度，先由AB，AD表示AN，AM，进而求出AB，AD.在ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ＝__________.平面向量基本定理揭示了平面内的每一个向量都可以由一组基底唯一表示，因此可结合向量的线性运算完成这种向量表示．注意以下几点：(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底；(2)注意共线向量基本定理的应用；(3)注意 a，b 不共线，则 0＝0·a＋0·b 是唯一的；(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系；(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系，也是常用技巧．2．平面向量基本定理的应用平面内有一个△ABC 和一点 O(如...