第二章 基本初等函数（Ⅰ）1 “函数”概念辨析一、表达式相同的两个函数是不是同一函数？答 很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数．其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题．例如， f(x)＝3x＋1(x∈R)与 g(x)＝3x＋1(x∈Z)，尽管 f(x)和 g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为 R 和 Z，故它们是不同的两个函数．二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等？答 有些同学认为，两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如，f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝(x－1)2，x∈{0,1}，这两个函数定义域和值域分别相同，但 由 于 f(0)≠g(0) ， f(1)≠g(1) ， 即 当 自 变 量 x 取 相 同 值 x0 时 ， f(x0)≠g(x0) ， 故f(x)≠g(x)．事实上，两个函数相等的意义也可叙述为：如果两个函数 f(x)和 g(x)的定义域为 D，且对于任意 x0∈D，都有 f(x0)＝g(x0)，那么 f(x)＝g(x)．三、函数的定义域可以是空集吗？答 教材中指出：“设 A，B 是非空的数集，……”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．四、y＝0 是函数式吗？答 很多同学都认为 y＝0 不是函数式，其理由是：函数定义中有两个变量 x 和 y，而在 y＝0 中只有一个变量 y.从形式上来看，y＝0 中只出现了一个变量 y，但我们知道，0 与任何实数的乘积仍为 0，因此，变量 y＝0 就是 y＝0·x，另一个变量 x 不是出现了吗？根据函数的定义，集合 A＝{x|x∈R}显然满足函数的定义，即不论 x 取何值，y 都有唯一确定的值 0 与之对应，因此，按函数的定义，y＝0 是函数式．同理，对任意实数 m，y＝m 也是函数式，只要把它写成 y＝m＋0·x 就清楚了．五、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？答 可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集．六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应就被确定了？答 因为函数的定义域是自变量 x 的取值范围的集合，而函数的解析式就是确定函数关系，在这个关系下，每一个 x 都有唯一的...
