高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

2.3 平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型1.进一步熟悉平均值不等式及柯西不等式.2.会用平均值不等式及柯西不等式求某些初等函数的最值问题.自学导引1.设 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.2.设 a1，a2，…，an为 n 个正数，则≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.3.设 a1，a2，…，an为正数，则≥≥，等号成立⇔a1＝a2＝…an.4.设 D 为 f(x)的定义域，如果存在 x0∈D，使得 f(x)≤f(x0) (f(x)≥f(x0)) x∈D，则称f ( x 0)为 f(x)在 D 上的最大 ( 小 ) 值 ，x0 称为 f(x)在 D 上的最大 ( 小 ) 值点 .寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题.基础自测1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件、5 件和 2 件，现在选择商店中单价为3 元、2 元和 1 元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为( ) A.20，23 B.19，25C.21，23 D.19，24解析 最多为 5×3＋4×2＋2×1＝25，最少为 5×1＋4×2＋2×3＝19，应选 B.答案 B2.若 f(x)＝＋且 x∈(0，1]，则 f(x)的最小值是( )A.2 B.不存在C. D.解析 x∈(0，1]，即 x>0.1f(x)＝＋≥2＝2.等号成立的条件是＝，即 x＝∉(0，1]，所以利用均值不等式，等号不成立，不能求 f(x)的最小值.令＝t，则＝，t∈，原函数变为 y＝t＋， y＝t＋在(0，1]上是减函数，则在上也是减函数，∴t＝时，ymin＝＋3＝.答案 C3.函数 y＝ (x<0)的值域为____________.解析 将原函数变为 y＝，用函数 x＋在 x<0 时的性质知：x＋≤－2.∴x＋＋1≤－1，∴1≥－，即 0>≥－1，∴0>y＝≥－3，故值域为[－3，0).答案 [－3，0)知识点 1 利用柯西不等式求函数的最值【例 1】 若 3x＋4y＝2，试求 x2＋y2的最小值及最小值点.解 由柯西不等式，得：(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝4.所以 25(x2＋y2)≥4，即 x2＋y2≥.当且仅当＝时，等号成立，∴，解得.所以 x2＋y2的最小值为，最小值点为.●反思感悟：利用柯西不等式求函数的最小值时，往往需乘以一个两常数的平方和，常数的选取要根据题设条件来定，如例 1，利用柯西不等式求最大值时，往往对函数解析式的各项配一系数，使利用柯西不等式后 n 个项的平方和为常数.1.设 a，b，c 为正数，a＋b＋4c2＝1，求＋＋c 的最大值.解 由柯西不等式得：(＋＋c)2＝≤[()2＋()2＋(2c)2]，即(＋＋c)2≤1·＝.当且仅当＝＝时，即 a＝b＝8c2时取等号.2∴20c...