高中数学 第二章 函数 5 简单的幂函数（二）学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案VIP专享

5 简单的幂函数（二）学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．知识点一 函数奇偶性的几何特征思考 下列函数图像中，关于 y 轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 梳理 一般地，图像关于 y 轴对称的函数叫作________函数，图像关于原点对称的函数叫作________函数．知识点二 函数奇偶性的定义思考 1 为什么不直接用图像关于 y 轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？ 思考 2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处？ 梳理 函数奇偶性的概念(1)偶函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有________________，那么函数f(x)就叫作偶函数．其实质是函数 f(x)上任一点(x，f(x))关于 y 轴的对称点(－x，f(x))也在 f(x)图像上．(2)奇函数：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有________________，那么函数f(x)就叫作奇函数．其实质是函数 f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在 f(x)图像上．(3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素 x，其相反数－x 必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．知识点三 奇偶性与单调性思考 观察偶函数 y＝x2与奇函数 y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？ 梳理 (1)若奇函数 f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)在[－b，－a]上是________函数，且有最小值________．(2)若偶函数 f(x)在(－∞，0)上是减函数，则 f(x)在(0，＋∞)上是__________．(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．类型一 判断函数的奇偶性例 1 判断并证明下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝(x＋1)(x－1)；(3)f(x)＝＋. 反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x，则－x 也一定属于定义域．跟踪训练 1 判断并证明下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x－2) ；(2)f(x)＝x|x|；(3)f(x)，g(x)是定义在 R 上的奇函数，试判断 y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性． 类型二 奇偶性的应用例 2 定义在 R 上的奇函数 f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．(1)画出 f(x)的图像；(2)解不等式 xf(x)>0.引申探究把例 2 中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题． ...